Валерий Куликов. "Estrella" - Многоугольники и квадратура круга

Начало здесь

С добавлением окружностей, система приобретает новый толчок к деформациям. На фоне окружности слабая способность ортогональной системы к симметрии, вынуждает ее модифицировать внутреннюю структуру элементов, добавляя новые правила в их взаимоотношения.

Попробуем посмотреть на другой слой нашей композиции.

Вспомним, что правильная звезда по своим радиальным свойствам ближе к окружности чем к квадрату. Без вершинных треугольников квадрат превращается в правильный восьмиугольник.

Все стороны в нем равны и равноудалены от центра.

Получается, что мы можем достаточно легко преобразовать квадрат в форму близкую к окружности, но при этом теряем его основное качество – модульность прямоугольных элементов внутренней структуры. Квадрат теряет свои преимущества, составляющие его части становятся не кратными в размерах друг другу и самому квадрату.

Рис. 2

С сохранением модульной структуры, квадрат может достигать близости с окружностью: с уменьшением размера ячейки усиливается его способность создать множество равноудаленных элементов от центра.

Иными словами обычная дискретизация (квантование по уровню)).:

Поэтапно делим ячейки квадрата пополам, и отсекаем не принадлежащие кругу ячейки.

Рис. 3

Обратим внимание на стадию 2 и 3 этого повторяемого процесса деления модульной клетки.

Стадия 2 – это наша матрица Qa-Qb (Рис. 14.b. Гл. 1.), позаимствованная из правильного восьмиугольника. И квадраты Qb оказываются внешними по отношению к окружности.

Стадия 3 – это развитие нашего процесса отсечения лишних квадратов при модульной клетке равной 1/8 стороны квадрата, но это и основной квадрат звезды геоглифа как и на Рис. 1.

Для поддержания равновесия и порядка добавим отсутствующие квадраты Qa, и посмотрим как они будут себя вести в процессе:

Рис. 4

Стадия 3 (8х8) – просто великолепна. Она содержит в себе все предыдущие (4х4 – стадия 2 и пустой квадрат 2х2 – стадия 1), и показывает нам механизм в действии.

Процесс можно продолжать до бесконечности. В результате квадрат будет “подгонять” свои ячейки к окружности и с каждой итерацией это соответствие будет точнее. Это свойство фрактальных систем.

Замаркированные ячейки демонстрируют важное свойство системы – структурную рекурсивность. (Когда на всех уровнях используется самоподобная структура). Кроме того, поэтапно, наблюдается чередование негативных (обратных) изменений: пустота заменяется маркировкой на следующей стадии.

Рис. 5

Раскрывается “смысл зонирования” замаркированных ячеек:

Qb – это отсекаемые “центробежными” усилиями кванты пространства квадрата

и “центростремительные” элементы Qa,

удовлетворяющие условию равноудаленности от центра.

Или Qb – зона расширения, Qa – зона сжатия.

Тот факт, что композиция состоит из элементов, идентичных по структуре общей композиции, позволяет говорить о рекурсивных ее свойствах. А так как вложенные композиции представляют саму систему, но на предыдущей стадии развития, говорит о внутренней динамике фрактального процесса, результатом которого является достижение некоторой цели, находящейся за пределами бесконечности.

Например: Количество ячеек внутри окружности будет стремиться к площади круга, а количество примыкающих к окружности ячеек, будет стремиться к длине окружности. Эти величины связаны с линейным размером радиуса окружности посредством иррационального числа пи, и следовательно точный результат недостижим в принципе. И направленный в бесконечность процесс деления модульной сетки с каждой итерацией будет приближать к истинной окружности.

Мне кажется это очень важный слой чертежа. Если предположить, что он тоже является иллюстративным (из преемственности родительского процесса), то можно сделать вывод:

Речь в чертеже будет идти о повторяемых процессах уточнения или дискретизации, с целью приблизиться к бесконечно удаленному идеальному решению.

А это значит, из общности законов внутри системы, что и другие элементы должны рассматриваться в динамике повторяемых процессов.

Композиция содержит элементы, находящиеся в явной взаимосвязи между собой. Лучи, маркировочные точки, отмеченные ячейки демонстрируют одну и ту же контекстную композиционную тему. Совпадения? Накладываясь на единую логическую основу, они не могут быть просто совпадениями. Явно определенная знаковая функция вспомогательных элементов, говорит о том, что кто-то хотел именно привлечь внимание к прочтению геометрии геоглифа. Говорить о том, что это просто эстетические изыскания в области геометрической орнаменталистики, подобно украшению глиняного сосудика, очень и очень сложно.

Очень как-то не по себе писать о дискретизации, о фрактальном приближении, разглядывая группу геометрических примитивов времен практически первобытных. Кто мог так легко манипулировать многоуровневыми понятиями, расставляя крестики в клеточках, размерами в десятки метров на расстояниях в несколько сот метров? Для кого этот “кто-то” пытался что-то иллюстрировать и с таким вниманием относится к его пониманию?..

Случайны ли эти совпадения? Я старался следовать тому, что я вижу. Это как обнаружение фигурки какой-нибудь медведицы среди множества звезд. Только геоглиф предоставляет множество закономерностей, и какие-то из них ярче и сгруппированы в определенные линии, из которых получается объемная модель разгуливающей в анимации медведицы. Можно относиться к ней как к приятной галлюцинации, только мне кажется, лучше подобрать под себя ноги и иные выступающие части тела, чтобы она, ненароком, не наступила.

Итак, в чертеже, одним из основных правил является правило последовательного деления целого на 2. В прямоугольной системе мы делим ячейки на квадраты, в полярной системе – полную окружность. Квадрат 8х8 и 16 лучей представляют собой 3-ю стадию этого процесса (2^3). Обнаруживаются признаки предыдущих стадий (деление на 2 и на 4), что говорит о внутренней динамике и возможности продолжения этого процесса, т.е деление на 16, 32, 64, и т.д.

Рассмотрим еще одну особенность срединной части чертежа:

Рис. 6

Лучи 3-й стадии образуют правильный восьмиугольник при пересечении со сторонами ячеек (Рис. 1.a). (казалось бы – красиво, что еще нужно?)

Но на геоглифе эти лучи продлены до маркировочных точек (Рис. 1.b). Образуемый таким образом восьмиугольник имеет сторону равную стороне ячейки!

Периметр этого восьмиугольника равен 8 или:

а) периметру квадрата 2х2, который окружают замаркированные ячейки

б) стороне основного квадрата (8 ячеек).

Но полярная система, как мы уже говорили, стремится к окружности. Значит, последовательно увеличивая количество сторон в 2 раза, многоугольник будет приближаться к окружности. А сохраняя связь с ортогональной системой (сторона кратна модулю), мы будем получать окружность с периметром модульного квадрата!

В поддержку такого вывода на геоглифе обнаруживается окружность с делением на 32 части (R=2), а самая большая окружность (R=4) делится на 64 части:

Рис. 7
Объединив правила прямоугольной системы и радиальной, мы получили на Рис. 1.b матрицу, связывающую окружность и квадрат с одинаковым периметром.

Восемь замаркированных ячеек связаны с лучами радиальной системы и символизируют связь противоположных в принципе систем через периметр окружности и квадрата. В соответствии равноудаленным вершинам восьмиугольника ставятся восемь ячеек квадратного пространства. Очень изящная иллюстрация диалектического устройства вселенной. Как в борьбе противоположностей возникает истинное решение.

Проблема квадратуры круга, видимо, была не просто попыткой решить утилитарную проблему – вычислить периметр окружности. Стремление круга и квадрата друг к другу находит решение в уравнивании периметра, когда свойства отличающие эти две фигуры становятся дополнением и системы работают связно. Но решение это возникает как точка пересечения в бесконечном процессе этого стремления. Точка эта одномоментна и всевременна, так же как и состояние квантов пространства делящихся и объединяющихся вновь согласно законам своей системы.

Но мы о геометрии говорим..

Итак, “звезда” демонстрирует отношения окружности и квадрата, и механизм последовательного приближения к точке, где периметр окружности будет равен периметру квадрата. А так, как деление на двое можно продолжать до бесконечности, то точка эта практически недостижима. Эта взаимосвязь в современной математике выражается через отношение диаметра окружности к ее длине числом “пи”.

Для истории квадратуры круга такое решение является фантастическим, если учесть попытки датировать геоглифы промежутком от 500 до н.э. до 500 н.э. Хотя датирование это относится к племенам наска, населявшим в то время эту территорию, и, как я думаю, к созданию геоглифов отношение не имеющие.

В древности отношение периметров (или площадей) окружности и квадрата (число пи) пытались выразить в виде целочисленного отношения (рационального числа). Т.е. число пи пытались представить в виде дроби (256/81, 4* (11/14)). Архимед, посредством построения правильных многоугольников с числом сторон 6, 12, 24, 48 и 96 сделал вывод что 3 10/71 < пи < 3 1/7. Практически это первая попытка построений с последовательным приближением, попытка создания алгоритма приближенного вычисления. Но с помощью него он пытался найти отношение целых чисел равное пи.

И только Г. Лейбниц в 17 в. доказал что пи – величина иррациональная, что представить ее в виде конечной дроби не возможно.

Полярная система формирует правильный многоугольник со стороной, соответствующей размеру модульной ячейки на этой же стадии деления системы на 2.

Значит при последовательном развитии всей композиции мы должны получать многоугольники со стороной равной ячейке модульной системы, увеличивая число сторон как степень 2. И периметр его будет равен периметру квадрата.

Остается научиться пользоваться матрицей многоугольника (назовем ее так).

Для этого проследим развитие многоугольника на стадиях развития системы.

Рис. 8

Вершина многоугольника на стадии определяется пересечением нового луча с линией, проходящей через середину модульной ячейки (Рис. 3.2).

Периметры всех этих многоугольников равны стороне основного квадрата.

Аналогично полярной матрице (Глава 1. Рис. 9), матрица многоугольника, увеличенная до масштаба всей композиции, сгенерирует серию многоугольников с периметром равным периметру основного квадрата:

Рис. 9

На этом этапе задействованы 32 разметочные точки на большой окружности, а их там 64. К тому же сторона 8-угольника на Рис. 4 равна только половине основного квадрата. Т.е. предполагается еще развитие этой схемы до 64-х угольника, сторона которого будет равна ячейке нашей композиции, а периметр будет равен периметру квадрата 16х16:

Рис. 10

Получаем инструкцию по эксплуатации “матрицы многоугольников”:

Для получения серии многоугольников, стремящихся к окружности заданного квадрата, нужно смасштабировать матрицу до размеров квадрата и “запустить” механизм последовательного деления систем на двое.:)

Многоугольники построенные на основании квадрата 16х16 – являются продолжением развития композиции в случае сохранения размера ячейки. Т.е. ячейка остается той же, а увеличивается вся система. (обратный прцесс делению на двое).

Таким образом матрица многоугольника может генерировать окружность, с периметром заданного квадрата.

Сторона восьмиугольника, построенного с помощью матрицы на квадрате 16х16, будет равна 8, т.е. стороне основного квадрата композиции. А расстояние от центра до вершин получаемых многоугольников, будет стремиться к радиусу описанной окружности, 1/8 часть периметра которой, будет также приближаться к этой длине.

К тому же этот восьмиугольник является полярной матрицей для нашей звезды:

Рис. 11

Итак, 16 лучей с разметочными точками на геоглифе, демонстрируют следующее правило:

При последовательном делении квадрата и окружности пополам, пересечение линий деления квадрата с осями делящими окружность, образуются точки, являющиеся вершинами многоугольника, стороны которого кратны стороне квадрата, а периметр его равен периметру квадрата.

Звезда не только демонстрирует противоречия, но и показывает связь квадрата и круга. И не просто связь, а точки где две различные системы пересекаются и работают совместно. Восьмиугольник, являющийся результатом пересечения двух квадратов, является связующим звеном между квадратом и окружностью, кубом и сферой. Двух совершенно противоположных систем – ортогональной (2-х или 3х мерной) пространственной системы и полярной или радиальной системы.

Задан механизм приближенного вычисления радиуса окружности с периметром, равным периметру заданного квадрата. Не в виде какого либо-конкретного отношения (например 355 по горизонтали и 113 по вертикали), а в виде алгоритма, с помощью которого можно достигнуть любой требуемой точности, повторяя процесс деления на 2 и построения следующего многоугольника.

Логика рекурсивной композиции определяет направления развития как во внутрь, так и во вне. Звезда является упакованным в геометрию изящным изложением законов и правил, по которым работает система.

Продолжение следует…

Валерий Куликов

Источник

Первая часть статьи